一、被告已经收集证据但因不可抗力等原因无法提供

根据《中华人民共和国行政诉讼法》第三十六条规定，如果被告在作出具体行政行为时已经收集了相关证据，但因不可抗力等正当事由无法提供，被告可以经人民法院准许补充相关证据。

二、原告或第三人在诉讼过程中提出未被提及的反驳理由或证据

根据《中华人民共和国行政诉讼法》第三十六条规定，如果原告或者第三人在诉讼过程中提出了被告在实施行政行为过程中未提出的反驳理由或证据，被告可以经人民法院准许补充相关证据。

被告补充证据的限制

一、被告故意隐瞒相关情况或证据

如果原告或第三人故意隐瞒相关情况或证据，或是事后才发现相关情况或证据，或者因不可抗力等原因，在行政处理过程中未向行政机关提出相关理由或证据，而在诉讼程序中提出，人民法院应当考虑准许被告补充证据。同时，人民法院还应当判断，是否因不能归于被告的原因导致被告在作出行政行为时未能考虑相关情况，以至于被告需要重新收集、提供证据来证明行政行为的合法性。

二、被告已审慎履行行政程序责任

如果行政机关已经审慎履行了行政程序规定的调查和审查责任，在行政处理过程中未发现相关理由和证据，导致在作出行政决定时未考虑该理由或证据，人民法院准许行政机关补充证据具有正当性。如果人民法院不予准许，行政机关在诉讼中将处于不利地位，其代表的公共利益也将丧失抵御损害的一般手段。

被告补充证据的限制原则

一、不得包括证明行政程序合法的证据

被告不得补充提交证明行政程序合法的证据。行政机关应当在行政处理过程中熟知并掌握这些程序性证据，并在举证期限内主动向人民法院提交。

二、不得提交不利于原告的证据和有利于被告的证据

出于监督行政机关不滥用权力的目的，被告不得补充提交已经收集的不利于原告的证据和有利于被告的证据。

三、不得提交应当主动公开的政府信息

被告不得准许提交《政府信息公开条例》第10条中规定的行政机关应当主动重点公开的政府信息。行政机关应当主动依法公开信息和依法行政，限制相对人的知情权将损害相对人的合法权益。

第三人提供证据的情形

根据行政诉讼法第34条第2款的规定，当被诉的行政行为涉及第三人的合法权益，并且第三人提供了证据，人民法院可以准许被告补充证据。在这种情况下，第三人应当是具有相当于原告地位的第三人，而不是与被告利益一致的第三人。此外，《证据规定》第13条第2款规定，对于当事人无争议但涉及国家利益、公共利益或他人合法权益的事实，人民法院可以责令当事人提供或补充相关证据。因此，行政机关申请补充证据，人民法院应当予以准许。