当事人申请行政赔偿提起诉讼的程序的相关法律规定

赔偿请求人的诉讼期限

根据《中华人民共和国国家赔偿法》第十四条规定，赔偿义务机关在规定期限内未作出是否赔偿的决定时，赔偿请求人可以自期限届满之日起三个月内向人民法院提起诉讼。

赔偿请求人对赔偿方式、项目、数额的异议

如果赔偿请求人对赔偿的方式、项目、数额有异议，或者赔偿义务机关作出不予赔偿决定时，赔偿请求人可以自赔偿义务机关作出赔偿或不予赔偿决定之日起三个月内向人民法院提起诉讼。

人民法院审理行政赔偿案件的证据要求

赔偿请求人和赔偿义务机关的证据提供

根据《中华人民共和国国家赔偿法》第十五条规定，人民法院审理行政赔偿案件时，赔偿请求人和赔偿义务机关对自己提出的主张，应当提供证据。

赔偿义务机关证明因果关系

如果赔偿义务机关采取行政拘留或限制人身自由的强制措施期间，被限制人身自由的人死亡或丧失行为能力，赔偿义务机关需要证明其行为与被限制人身自由的人的死亡或丧失行为能力是否存在因果关系，以提供证据。