医疗责任保险赔偿申请流程如下：被保险人遭遇医疗事故后，可向保险机构提出索赔申请，保险机构有权聘请专业技术人员参与调查、处理，保险公司对每位患者的赔偿金额以患者或其近亲属与被保险人及保险公司协商确定的金额或经法院、仲裁机构或卫生行政部门依法判决、裁决、裁定或调解的应由被保险人偿付的金额为准。

法律依据

《《中华人民共和国保险法》》第二十二条   保险事故发生后，按照保险合同请求保险人赔偿或者给付保险金时，投保人、被保险人或者受益人应当向保险人提供其所能提供的与确认保险事故的性质、原因、损失程度等有关的证明和资料。   保险人按照合同的约定，认为有关的证明和资料不完整的，应当及时一次性通知投保人、被保险人或者受益人补充提供。

《《中华人民共和国保险法》》第二十三条   保险人收到被保险人或者受益人的赔偿或者给付保险金的请求后，应当及时作出核定；情形复杂的，应当在三十日内作出核定，但合同另有约定的除外。保险人应当将核定结果通知被保险人或者受益人；对属于保险责任的，在与被保险人或者受益人达成赔偿或者给付保险金的协议后十日内，履行赔偿或者给付保险金义务。保险合同对赔偿或者给付保险金的期限有约定的，保险人应当按照约定履行赔偿或者给付保险金义务。   保险人未及时履行前款规定义务的，除支付保险金外，应当赔偿被保险人或者受益人因此受到的损失。   任何单位和个人不得非法干预保险人履行赔偿或者给付保险金的义务，也不得限制被保险人或者受益人取得保险金的权利。