监视居住的外出申请

根据《刑事诉讼法》第74条的规定，监视居住是指被犯罪嫌疑人或被告人限制在指定住所内的一种强制措施。在监视居住期间，被犯罪嫌疑人或被告人不得离开指定住所，除非经过监视机关的批准。如果被犯罪嫌疑人或被告人确实需要外出，他们必须向监视机关提出外出申请，并经过执行机关的允许。这意味着他们不能擅自离开指定住所，而是需要获得相关机关的批准才能外出。

适用情形

根据《刑事诉讼法》第74条的规定，有以下情形之一的犯罪嫌疑人或被告人可以被采取监视居住措施：(一) 患有严重疾病、生活不能自理的人；(二) 怀孕或正在哺乳婴儿的妇女；(三) 是生活不能自理的人的唯一扶养人；(四) 因案件的特殊情况或办理案件的需要，监视居住措施更为适宜；(五) 羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取监视居住措施。

被告人的义务

根据《刑事诉讼法》第77条的规定，被告人在监视居住期间有以下义务：- 未经执行机关批准，不得离开执行监视居住的处所；- 必须按照执行机关的要求履行监视居住的义务；- 不得与未经执行机关批准的人会见或通信；- 不得从事违反监视居住措施的行为。被告人必须严格遵守以上规定，未经执行机关的批准，他们不能擅自离开执行监视居住的处所。此外，他们还必须按照执行机关的要求履行监视居住的义务，包括不与未经执行机关批准的人会见或通信，以及不从事违反监视居住措施的行为。这些义务的遵守对于确保监视居住的有效执行至关重要。