撤销裁决的申请条件

根据《仲裁法》第五十八条的规定，当事人可以向仲裁委员会所在地的中级人民法院申请撤销裁决，但需提供以下证据证明裁决存在以下情形之一：

1. 没有仲裁协议；

2. 裁决的事项不属于仲裁协议的范围或者仲裁委员会无权仲裁；

3. 仲裁庭的组成或者仲裁的程序违反法定程序；

4. 裁决所根据的证据是伪造的；

5. 对方当事人隐瞒了足以影响公正裁决的证据；

6. 仲裁员在仲裁该案时有索贿受贿，徇私舞弊，枉法裁决行为。

撤销裁决的审查和裁定

如果人民法院经组成合议庭审查核实发现裁决存在上述情形之一，应当裁定撤销裁决。此外，如果人民法院认定该裁决违背社会公共利益，也应当裁定撤销裁决。

仲裁裁决的不予执行及相关规定

不予执行裁决的申请条件

根据民事诉讼法第二百三十七条的规定，当事人可以向有管辖权的人民法院申请执行仲裁机构的裁决。然而，被申请人可以提出证据证明裁决存在以下情形之一：

1. 合同中没有订有仲裁条款或者事后没有达成书面仲裁协议；

2. 裁决的事项不属于仲裁协议的范围或者仲裁机构无权仲裁；

3. 仲裁庭的组成或者仲裁的程序违反法定程序；

4. 认定事实的主要证据不足；

5. 适用法律确有错误；

6. 仲裁员在仲裁该案时有贪污受贿、徇私舞弊，枉法裁决行为。

不予执行裁决的审查和裁定

如果人民法院经组成合议庭审查核实发现裁决存在上述情形之一，应当裁定不予执行。此外，如果人民法院认定执行该裁决违背社会公共利益，也应当裁定不予执行。

重新申请仲裁或起诉

如果仲裁裁决被人民法院裁定不予执行，当事人可以根据双方达成的书面仲裁协议重新申请仲裁，也可以向人民法院起诉。

涉外仲裁裁决的不予执行

根据民事诉讼法第二百六十条的规定，对中华人民共和国涉外仲裁机构作出的裁决，被申请人可以提出证据证明裁决存在以下情形之一：

1. 合同中没有订有仲裁条款或者事后没有达成书面仲裁协议；

2. 被申请人没有得到指定仲裁员或者进行仲裁程序的通知，或者由于其他不属于被申请人负责的原因未能陈述意见；

3. 仲裁庭的组成或者仲裁的程序与仲裁规则不符；

4. 裁决的事项不属于仲裁协议的范围或者仲裁机构无权仲裁。

撤消裁决与不予执行裁决的区别

撤消裁决是当事人主动申请，双方当事人都可以申请撤消裁决，并且法院受理后可以通知仲裁庭重新仲裁。而不予执行裁决是被申请执行仲裁裁决的当事人被动的诉求，法院依据职权作出裁决。此外，二者的法定情形范围也存在差异。