一、执行和解不履行的法律后续程序

依据我国民事诉讼法规定，当执行中的双方当事人自行和解达成协议后，如果被执行人不履行协议，申请人可以向法院申请恢复对原生效法律文书的执行，而不是重新起诉。

根据《中华人民共和国民事诉讼法》第二百三十条的规定，执行中的双方当事人自行和解达成协议后，执行员应当将协议内容记入笔录，并由双方当事人签名或盖章。如果申请执行人因受欺诈、胁迫与被执行人达成和解协议，或者当事人不履行和解协议，人民法院可以根据当事人的申请，恢复对原生效法律文书的执行。

二、执行和解必须具备的条件

达成和解协议必须满足以下条件：

第一，和解协议必须是双方当事人自愿达成的。如果和解协议是由于外力因素使得当事人一方或双方违心达成的，将会损害权利人的利益，并可能导致当事人在未来再次提起诉讼，消耗更多的时间和精力。因此，双方当事人达成和解协议必须是自愿的。

第二，和解协议的内容必须符合法律和法规的规定。达成的和解协议不能违背法律和法规，也不能损害国家、社会和人民的利益。如果和解协议违反法律和法规的规定，人民法院将不予允许。

第三，当事人必须具有诉讼行为能力。如果当事人没有诉讼行为能力，应由其法定代理人代为行使，而且委托代理人执行和解协议的，必须有被代理人的特别授权，并且授权委托书必须明确载明委托进行和解的事项和权限。

第四，对于必要共同诉讼的案件，由于诉讼标的是共同的，因此在执行程序中，如果其中一方与对方当事人进行和解并达成协议，必须经其他共同诉讼人全体承认，才能对全体产生效力。如果选定代表人进行和解，必须经当事人同意后方可进行。