再审庭审期间是否可以增加再审请求？

不能，只能另案起诉。

根据中华人民共和国民事诉讼法司法解释第四百零五条规定，人民法院在审理再审案件时应当围绕再审请求进行。如果当事人的再审请求超出了原审诉讼请求的范围，法院将不予受理。只有符合另案诉讼条件的，法院会告知当事人可以另行起诉。被申请人及原审其他当事人在庭审辩论结束前提出的再审请求，如果符合民事诉讼法第二百零五条的规定，法院应当一并审理。在经过再审后，如果法院发现已经生效的判决、裁定损害了国家利益、社会公共利益或他人合法权益，法院应当一并审理。

民事诉讼法再审程序内容

审判监督程序

根据《民事诉讼法》第十六章的规定，各级人民法院院长对本院已经生效的判决、裁定、调解书，如果发现确有错误并认为需要再审的，应当提交审判委员会讨论决定。最高人民法院对地方各级人民法院已经生效的判决、裁定、调解书，上级人民法院对下级人民法院已经生效的判决、裁定、调解书，如果发现确有错误，有权提审或指令下级人民法院进行再审。当事人对已经生效的判决、裁定认为有错误的，可以向上一级人民法院申请再审。如果当事人一方人数众多或者当事人双方为公民的案件，也可以向原审人民法院申请再审。当事人申请再审的情况下，不会停止判决、裁定的执行。

关于当事人申请检察监督新规定的适用

申请再审先行，检察监督在后的程序

根据新民事诉讼法的规定，当事人有权申请检察监督，并确立了申请再审先行，检察监督在后的程序。根据规定，在以下两种情况下，应当告知当事人向检察院申请检察建议或者抗诉，而不应作为申请再审案件受理的依据：1. 当事人在人民法院驳回其再审申请后又向人民法院申请再审的情况。但为了平等保障双方当事人的权利，如果对方当事人在法定申请再审期限内申请再审，法院应予以受理。2. 当事人认为再审判决、裁定存在错误并向人民法院申请再审的情况。在案件已经适用再审程序并作出生效裁判的情况下，根据新民事诉讼法第二百零九条的规定，全体当事人只能针对再审裁判申请检察监督。因此，目前适用于不服再审判决申请再审的“民再申字”案号不应继续适用。