检察院对立案或撤销案件执行情况的监督

根据我国相关法律规定，人民检察院在通知公安机关立案或撤销案件后，有责任依法对执行情况进行监督。

《人民检察院刑事诉讼规则》

根据《人民检察院刑事诉讼规则》第五百六十四条的规定，人民检察院在通知公安机关立案或撤销案件后，应当依法对执行情况进行监督。

如果公安机关在收到通知立案书或通知撤销案件书后超过十五日不予立案，或者未要求复议、提请复核也不撤销案件的，人民检察院应当发出纠正违法通知书。如果公安机关仍然不纠正，人民检察院将向上一级人民检察院报告，并与同级公安机关协商处理。

如果公安机关立案后三个月内未侦查终结，人民检察院可以向公安机关发出立案监督案件催办函，要求公安机关及时向人民检察院反馈侦查工作进展情况。

公安机关的职能

公安机关的职能主要包括专政职能和民主职能，这两个职能集中反映了公安机关作为人民民主专政工具的根本属性。

1、公安机关的专政职能

公安机关的专政职能是指公安机关对危害国家安全的敌对势力、敌对分子和严重危害社会治安秩序的犯罪分子进行镇压、制裁、改造和监督的社会效能。公安机关的专政职能是专门用以对付敌对势力、敌对分子和严重刑事犯罪分子的，其实质是公安机关代表国家和人民对上述专政对象实行的政治统治。公安机关专政职能的内容包括：保卫人民民主专政的政权，巩固社会主义制度作为专政目的；针对敌对势力和敌对分子、严重刑事犯罪分子作为专政对象；打击、制裁、改造、监督作为专政手段。

2、公安机关的民主职能

公安机关的民主职能是指公安机关依法保护人民的民主权利和其他合法权益的社会效能。公安机关的民主职能实质上是保障人民享有国家主人翁地位和人民利益。公安机关民主职能的内容包括：保障人民充分享受宪法和法律规定的民主权利和其他权利；保障人民依法参与国家事务的管理，享受正常的政治、经济和文化生活；用民主的方式正确处理人民内部矛盾；依靠人民群众开展公安工作；全心全意为人民服务。