员工和工厂无书面劳动合同，在工厂劳动一段

无书面劳动合同情况下离职的员工一般不需要承担法律责任。

员工在未签订书面劳动合同的情况下离职，按照《劳动合同法》的相关规定，用人单位应自用工之日起一个月内与劳动者订立书面劳动合同。如果未订立，则需向劳动者支付二倍工资。员工若在没有签订书面合同的情况下离职，通常需要提前30天书面通知单位（转正员工）或提前3天（试用期内员工），并按法定程序进行。此外，如果用人单位存在违法行为，如未足额支付劳动报酬、未依法缴纳社会保险费等，劳动者有权解除劳动合同。

关于员工离职后利用原工厂资源联系客户并邮寄配件，若工厂使用他人商标销售质量较差的配件，员工一般不承担法律责任。具体情况如下：

法律责任：员工的行为是否构成法律责任取决于其是否参与了侵权行为，如明知是侵权产品而协助销售，则有可能承担连带责任。
商标权益：如果员工未直接参与销售行为，且对此并不知情，那么他们通常不需为此承担法律责任。