如何申请检察院启动刑事抗诉程序

被害人及其法定代理人的权利

根据《刑事诉讼法》第二百二十九条的规定，被害人及其法定代理人对地方各级人民法院第一审的判决不服的，应在收到判决书后五日内向人民检察院提出抗诉请求。被害人及其法定代理人有权行使这一申请权。

检察院的义务

根据《刑事诉讼法》第二百二十九条的规定，人民检察院在收到被害人及其法定代理人的抗诉请求后五日内，应作出是否抗诉的决定，并答复请求人。

上诉和抗诉的期限

根据《刑事诉讼法》第二百三十条的规定，不服判决的上诉和抗诉的期限为十日，不服裁定的上诉和抗诉的期限为五日，计算起始日为接到判决书或裁定书的第二日。