公安机关的立案和撤案

根据《公安机关办理刑事案件程序规定》，公安机关在接受案件后，经审查认为有犯罪事实需要追究刑事责任，并且属于自己管辖的情况下，可以经县级以上公安机关负责人批准立案。如果公安机关认为没有犯罪事实，或者犯罪事实轻微不需要追究刑事责任，或者存在其他不追究刑事责任的情形，也可以经县级以上公安机关负责人批准不予立案。在侦查过程中，如果发现案件没有犯罪事实、情节轻微、犯罪已过追诉时效期限、经特赦免除刑罚、犯罪嫌疑人死亡或者其他不追究刑事责任的情形，公安机关应当撤销案件。当公安机关决定撤销案件或者终止对犯罪嫌疑人的侦查时，应当立即释放被羁押的嫌疑人，并通知原批准逮捕的人民检察院。同时，对于查封、扣押的财物及其孳息、文件，或者冻结的财产，除按照法律和有关规定另行处理的情况下，应当解除查封、扣押、冻结。

刑事拘留和逮捕的时限

根据《中华人民共和国刑事诉讼法》，公安机关对已经立案的刑事案件应当进行侦查，收集、调取犯罪嫌疑人的证据材料。在嫌疑人没有被刑事拘留或批准逮捕之前，法律没有规定相应的期限。如果嫌疑人被刑事拘留，最长拘留期限为37天；如果被批准逮捕，侦查羁押期限一般为2个月。公安机关会根据情况对嫌疑人进行刑事拘留，三日内提请检察院批捕，可以延长一至四日。检察院一般会在七日内决定是否批准逮捕。对于流窜作案、结伙作案或多次作案的重大嫌疑分子，提请批捕的时限可以延长至一个月。逮捕后的侦查期限一般不得超过2个月，复杂案件可以经上一级人民检察院批准延长一个月。在交通不便地区、重大犯罪集团案件、流窜作案等情况下，可以经省级检察院批准再延长2个月。对于可能判处十年以下刑罚的嫌疑人，经省级检察院批准再延长2个月。因此，公安阶段的时间一般为2个半月到3个月左右，最长可达8个月。

审查起诉阶段和公诉阶段

公安机关在侦查结束后，会将起诉意见书及案卷、证据移送到检察院，进入审查起诉阶段。这个阶段一般为一个月，复杂案件可延长半个月。检察院在审查起诉过程中，如果认为需要补充侦查，可以退回公安机关补充侦查，也可以自行侦查。补充侦查应当在一个月内完成，最多可进行两次补充侦查。补充侦查后，检察院重新计算审查起诉的期限。审查完成后，检察院会写出公诉书，向相应的法院提起公诉。一般来说，审查起诉阶段和公诉阶段的时间为一个月至一个半月，最长可达五个月。最后，案件进入法院阶段。